數(shù)字推理由題干和選項兩部分組成,題干是一個有某種規(guī)律的數(shù)列,但其中缺少一項,要求考生仔細觀察這個數(shù)列各數(shù)字之間的關(guān)系,找出其中的規(guī)律,然后從四個供選擇的答案中選出你認為最合適、最合理的一個,使之符合數(shù)列的排列規(guī)律。其不同于其他形式的推理,題目中全部是數(shù)字,沒有文字可供應(yīng)試者理解題意,真實地考查了應(yīng)試者的抽象思維能力。
第一種情形----等差數(shù)列:是指相鄰之間的差值相等,整個數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù)。
1、等差數(shù)列的常規(guī)公式。設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d ,則等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d (n為自然數(shù))。
[例1]1,3,5,7,9,( )
A.7 B.8 C.11 D.13
[解析] 這是一種很簡單的排列方式:其特征是相鄰兩個數(shù)字之間的差是一個常數(shù)。從該題中我們很容易發(fā)現(xiàn)相鄰兩個數(shù)字的差均為2,所以括號內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為11。故選C。
2、二級等差數(shù)列。是指等差數(shù)列的變式,相鄰兩項之差之間有著明顯的規(guī)律性,往往構(gòu)成等差數(shù)列.
[例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50
A.35 B.33 C.37 D.36
[解析] 相鄰兩位數(shù)之差分別為3, 5, 7, 9,
是一個差值為2的等差數(shù)列,所以括號內(nèi)的數(shù)與26的差值應(yīng)為11,即括號內(nèi)的數(shù)為26+11=37.故選C。
3、分子分母的等差數(shù)列。是指一組分數(shù)中,分子或分母、分子和分母分別呈現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律性。
[例3] 2/3,3/4,4/5,5/6,6/7,( )
A、8/9 B、9/10 C、9/11 D、7/8
[解析] 數(shù)列分母依次為3,4,5,6,7;分子依次為2,3,4,5,6,故括號應(yīng)為7/8。故選D。
4、混合等差數(shù)列。是指一組數(shù)中,相鄰的奇數(shù)項與相鄰的偶數(shù)項呈現(xiàn)等差數(shù)列。
[例4] 1,3,3,5,7,9,13,15,,( ),( )。
A、19 21 B、19 23 C、21 23 D、27 30
[解析] 相鄰奇數(shù)項之間的差是以2為首項,公差為2的等差數(shù)列,相鄰偶數(shù)項之間的差是以2為首項,公差為2的等差數(shù)列。
提示:熟練掌握基本題型及其簡單變化是保證數(shù)字推理題不丟分的關(guān)鍵。
第二種情形---等比數(shù)列:是指相鄰數(shù)列之間的比值相等,整個數(shù)字序列依次遞增或遞減的一組數(shù)。
5、等比數(shù)列的常規(guī)公式。設(shè)等比數(shù)列的首項為a1,公比為q(q不等于0),則等比數(shù)列的通項公式為an=a1q n-1(n為自然數(shù))。
[例5] 12,4,4/3,4/9,( )
A、2/9 B、1/9 C、1/27 D、4/27
[解析] 很明顯,這是一個典型的等比數(shù)列,公比為1/3。故選D。
6、二級等比數(shù)列。是指等比數(shù)列的變式,相鄰兩項之比有著明顯的規(guī)律性,往往構(gòu)成等比數(shù)列。
[例6] 4,6,10,18,34,( )
A、50 B、64 C、66 D、68
[解析] 此數(shù)列表面上看沒有規(guī)律,但它們后一項與前一項的差分別為2,4,6,8,16,是一個公比為2的等比數(shù)列,故括號內(nèi)的值應(yīng)為34+16Ⅹ2=66 故選C。
7、等比數(shù)列的特殊變式。
[例7] 8,12,24,60,( )
A、90 B、120 C、180 D、240
[解析] 該題有一定的難度。題目中相鄰兩個數(shù)字之間后一項除以前一項得到的商并不是一個常數(shù),但它們是按照一定規(guī)律排列的:3/2,4/2,5/2,因此,括號內(nèi)數(shù)字應(yīng)為60Ⅹ6/2=180。故選C。此題值得再分析一下,相鄰兩項的差分別為4,12,36,后一個值是前一個值的3倍,括號內(nèi)的數(shù)減去60應(yīng)為36的3倍,即108,括號數(shù)為168,如果選項中沒有180只有168的話,就應(yīng)選168了。同時出現(xiàn)的話就值得爭論了,這題只是一個特例。
第三種情形—混合數(shù)列式:是指一組數(shù)列中,存在兩種以上的數(shù)列規(guī)律。
8、雙重數(shù)列式。即等差與等比數(shù)列混合,特點是相隔兩項之間的差值或比值相等。
[例8] 26,11,31,6,36,1,41,( )
A、0 B、-3 C、-4 D、46
[解析] 此題是一道典型的雙重數(shù)列題。其中奇數(shù)項是公差為5的等差遞增數(shù)列,偶數(shù)項是公差為5的等差遞減數(shù)列。故選C。
9、混合數(shù)列。是兩個數(shù)列交替排列在一列數(shù)中,有時是兩個相同的數(shù)列(等差或等比),有時兩個數(shù)列是按不同規(guī)律排列的,一個是等差數(shù)列,另一個是等比數(shù)列。
[例9] 5,3,10,6,15,12,( ),( )
A、20 18 B、18 20 C、20 24 D、18 32
[解析] 此題是一道典型的等差、等比數(shù)列混合題。其中奇數(shù)項是以5為首項、公差為5的等差數(shù)列,偶數(shù)項是以3為首項、公比為2的等比數(shù)列。故選C。
第四種情形—四則混合運算:是指前兩(或幾)個數(shù)經(jīng)過某種四則運算等到于下一個數(shù),如前兩個數(shù)之和、之差、之積、之商等于第三個數(shù)。
10、加法規(guī)律。
之一:前兩個或幾個數(shù)相加等于第三個數(shù),相加的項數(shù)是固定的。
[例11] 2,4,6,10,16,( )
A、26 B、32 C、35 D、20
[解析] 首先分析相鄰兩數(shù)間數(shù)量關(guān)系進行兩兩比較,第一個數(shù)2與第二個數(shù)4之和是第三個數(shù),而第二個數(shù)4與第三個數(shù)6之和是10。依此類推,括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)該是第四個數(shù)與第五個數(shù)的和26。故選A。
之二:前面所有的數(shù)相加等到于最后一項,相加的項數(shù)為前面所有項。
[例12] 1,3,4, 8,16,( )
A、22 B、24 C、28 D、32
[解析] 這道題從表面上看認為是題目出錯了,第二位數(shù)應(yīng)是2,以為是等比數(shù)列。其實不難看出,第三項等于前兩項之和,第四項與等于前三項之和,括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為前五項之和為32。故選D。
11、減法規(guī)律。是指前一項減去第二項的差等于第三項。
[例13] 25,16,9,7,( ),5
A、8 B、2 C、3 D、6
[解析] 此題是典型的減法規(guī)律題,前兩項之差等于第三項。故選B。
12、加減混合:是指一組數(shù)中需要用加法規(guī)律的同時還要使用減法,才能得出所要的項。
[例14] 1,2,2,3,4,6,( )
A、7 B、8 C、9 D、10
[解析] 即前兩項之和減去1等于第三項。故選C。
13、乘法規(guī)律。
之一:普通常規(guī)式:前兩項之積等于第三項。
[例15] 3,4,12,48,( )
A、96 B、36 C、192 D、576
[解析] 這是一道典型的乘法規(guī)律題,仔細觀察,前兩項之積等于第三項。故選D。
之二:乘法規(guī)律的變式:
[例16] 2,4,12,48,( )
A、96 B、120 C、240 D、480
[解析] 每個數(shù)都是相鄰的前面的數(shù)乘以自已所排列的位數(shù),所以第5位數(shù)應(yīng)是5×48=240。故選D。
14、除法規(guī)律。
[例17] 60,30,2,15,( )
A、5 B、1 C、1/5 D、2/15
[解析] 本題中的數(shù)是具有典型的除法規(guī)律,前兩項之商等于第三項,故第五項應(yīng)是第三項與第四項的商。故選D。
15、除法規(guī)律與等差數(shù)列混合式。
[例18] 3,3,6,18,( )
A、36 B、54 C、72 D、108
[解析] 數(shù)列中后個數(shù)字與前一個數(shù)字之間的商形成一個等差數(shù)列,以此類推,第5個數(shù)與第4個數(shù)之間的商應(yīng)該是4,所以18×4=72。故選C。
思路引導(dǎo):快速掃描已給出的幾個數(shù)字,仔細觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系,大膽提出假設(shè),并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)。如果假設(shè)被否定,立刻換一種假設(shè),這樣可以極大地提高解題速度。
第五種情形—平方規(guī)律:是指數(shù)列中包含一個完全平方數(shù)列,有的明顯,有的隱含。
16、平方規(guī)律的常規(guī)式。
[例19] 49,64,91,( ),121
A、98 B、100 C、108 D、116
[解析] 這組數(shù)列可變形為72,82,92,( ),112,不難看出這是一組具有平方規(guī)律的數(shù)列,所以括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)是102。故選B。
17、平方規(guī)律的變式。
之一、n2-n
[例20] 0,3,8,15,24,( )
A、28 B、32 C、35 D、40
[解析] 這個數(shù)列沒有直接規(guī)律,經(jīng)過變形后就可以看出規(guī)律。由于所給數(shù)列各項分別加1,可得1,4,9,16,25,即12,22,32,42,52,故括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62-1=35,其實就是n2-n。故選C。
之二、n2+n
[例21] 2,5,10,17,26,( )
A、43 B、34 C、35 D、37
[解析]
這個數(shù)是一個二級等差數(shù)列,相鄰兩項的差是一個公差為2的等差數(shù)列,括號內(nèi)的數(shù)是26=11=37。如將所給的數(shù)列分別減1,可得1,4,9,16,25,即12,22,32,42,52,故括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)為62+1=37,,其實就是n2+n。故選D。
之三、每項自身的平方減去前一項的差等于下一項。
[例22] 1,2,3,7,46,( )
A、2109 B、1289 C、322 D、147
[解析] 本數(shù)列規(guī)律為第項自身的平方減去前一項的差等于下一項,即12-0,22-1=3,32-2=7,72-3=46,462-7=2109,故選A。
第六種情形—立方規(guī)律:是指數(shù)列中包含一個立方數(shù)列,有的明顯,有的隱含。
16、立方規(guī)律的常規(guī)式:
[例23] 1/343,1/216,1/125,( )
A、1/36 B、1/49 C、1/64 D、1/27
[解析] 仔細觀察可以看出,上面的數(shù)列分別是1/73,1/63,1/53的變形,因此,括號內(nèi)應(yīng)該是1/43,即1/64。故選C。
17、立方規(guī)律的變式:
之一、n3-n
[例24] 0,6,24,60,120,( )
A、280 B、320 C、729 D、336
[解析] 數(shù)列中各項可以變形為13-1,23-2,33-3,43-4,53-5,63-6,故后面的項應(yīng)為73-7=336,其排列規(guī)律可概括為n3-n。故選D。
之二、n3+n
[例25] 2,10,30,68,( )
A、70 B、90 C、130 D、225
[解析] 數(shù)列可變形為13+1,23+2,33+3,43+4,故第5項為53+5=130,其排列規(guī)律可概括為n3+n。故選C。
之三、從第二項起后項是相鄰前一項的立方加1。
[例26] -1,0,1,2,9,( )
A、11 B、82 C、729 D、730
[解析] 從第二項起后項分別是相鄰前一項的立方加1,故括號內(nèi)應(yīng)為93+1=730。故選D。
思路引導(dǎo):做立方型變式這類題時應(yīng)從前面幾種排列中跳出來,想到這種新的排列思路,再通過分析比較嘗試尋找,才能找到正確答案。
第七種情形—特殊類型:
18、需經(jīng)變形后方可看出規(guī)律的題型:
[例27] 1,1/16,( ),1/256,1/625
A、1/27 B、1/81 C、1/100 D、1/121
[解析] 此題數(shù)列可變形為1/12,1/42,( ),1/162,1/252,可以看出分母各項分別為1,4,( ),16,25的平方,而1,4,16,25,分別是1,2,4,5的平方,由此可以判斷這個數(shù)列是1,2,3,4,5的平方的平方,由此可以判斷括號內(nèi)所缺項應(yīng)為1/(32)2=1/81。故選B。
19、容易出錯規(guī)律的題。
[例28] 12,34,56,78,( )
A、90 B、100 C、910 D、901
[解析] 這道題表面看起來起來似乎有著明顯的規(guī)律,12后是34,然后是56,78,后面一項似乎應(yīng)該是910,其實,這是一個等差數(shù)列,后一項減去前一項均為22,所以括號內(nèi)的數(shù)字應(yīng)該是78+22=100。故選B。