數(shù)學(xué)運(yùn)算主要涉及到以下幾個(gè)問題：比例問題，不定方程，抽屜問題，倒推法問題，方陣問題，工程問題，和倍差問題，利潤問題，年齡問題，牛吃草問題，濃度問題，平均數(shù)，數(shù)的拆分，數(shù)的整除性，速算與巧算，提取公因式法，統(tǒng)籌問題，尾數(shù)計(jì)算法，行程問題，植樹問題，最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)問題等等。以上都是在不斷作題過程中總結(jié)出來的規(guī)律，在復(fù)習(xí)過程中，分點(diǎn)復(fù)習(xí)會(huì)有條理，不會(huì)遺漏，可以使自己的知識(shí)形成系統(tǒng)，在以后的作題中思路會(huì)更加清晰，下面是有關(guān)行程問題的一些總結(jié)。

　　方法：行程問題的主要思想就是數(shù)形結(jié)合的思想，在做題時(shí)畫個(gè)行程圖式，可以使思路比較直觀，容易抓住一些不變點(diǎn)，從而列出相應(yīng)的方程，求出一些重要的等量關(guān)系，而這些等量關(guān)系正是我們解題所需要的。

　　行程問題可以分為以下幾大類：

　　1．相遇問題：

　　知識(shí)要點(diǎn)提示：甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲，乙在A，B途中相遇。

　　A、 B兩地的路程=甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間

　　=（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間

　　=速度和×相遇時(shí)間

　　出發(fā)時(shí)間相同

　　例題：

　　兩列對(duì)開的列車相遇，第一列車的車速為10米/秒，第二列車的車速為12．5米/秒，第二列車的旅客發(fā)現(xiàn)第一列車在旁邊開過時(shí)用了6秒，則第一列車的長度為多少米？

　　A．60米    B．75米    C．80米    D．135米

　　【答案】D。解析：這里A，B兩地的距離就為第一列車的長度，那么第一列車的長度為（10+12．5）×6=135米。

　　甲、乙二人同時(shí)從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6小時(shí)相遇。如果二人每小時(shí)各多行1千米，那么他們相遇的地點(diǎn)距前次相遇點(diǎn)1千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原來的速度為（    ）

　　A．3千米/時(shí)   B．4千米/時(shí)   C．5千米/時(shí)   D．6千米/時(shí)

　　【答案】B。解析：原來兩人速度和為60÷6=10千米/時(shí)，現(xiàn)在兩人相遇時(shí)間為60÷（10+2）=5小時(shí)，設(shè)原來乙的速度為X千米/時(shí)且乙的速度較慢，則5（X+1）=6X+1，解得X=4。注意：在解決這種問題的時(shí)候一定要先判斷誰的速度快。

　　我們上面講的都是同時(shí)出發(fā)的情況。

　　出發(fā)時(shí)間不同

　　每天早上李剛定時(shí)離家上班，張大爺定時(shí)出家門散步，他們每天都相向而行且準(zhǔn)時(shí)在途中相遇。有一天李剛因有事提早離家出門，所以他比平時(shí)早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時(shí)早出門（    ）分鐘

　　A．7   B．9   C．10   D．11

　　【答案】D。解析：設(shè)每天李剛走X分鐘，張大爺走Y分鐘相遇，李剛今天提前Z分鐘離家出門，可列方程為70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故應(yīng)選擇D。抓住了，兩地距離不變，列方程。

　　2、二次相遇問題：

　　知識(shí)要點(diǎn)提示：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。

　　例題：

　　甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請(qǐng)問A、B兩地相距多少千米？ A．120       B．100       C．90        D．80

　　【答案】A。解析：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了x，第二次相遇兩車共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。

　　兩汽車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（    ）千米

　　A．200   B．150   C．120   D100

　　【答案】D。解析：第一次相遇時(shí)兩車共走一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)兩車共走了兩個(gè)全程，從A城出發(fā)的汽車在第二次相遇時(shí)走了52×2=104千米，從B城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。

　　繞圈問題：

　　在一個(gè)圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（    ）？

　　A．24分鐘    B．26分鐘    C．28分鐘    D．30分鐘

　　【答案】C。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14×2=28分鐘。也是一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。

　　2． 追及問題

　　知識(shí)要點(diǎn)提示：有甲，乙同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走的慢的走在前，走得快的過一段時(shí)間就能追上。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人都的速度差。如果假設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：

　　追及路程=甲走的路程-乙走的路程

　　=甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間

　　=速度差×追及時(shí)間

　　核心就是“速度差”的問題。

　　一列快車長170米，每秒行23米，一列慢車長130米，每秒行18米?？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^慢車，共需（    ）秒鐘

　　A．60   B．75   C．50   D．55

　　【答案】A。解析：設(shè)需要x秒快車超過慢車，則（23-18）x=170+130，得出x=60秒。這里速度差比較明顯。

　　當(dāng)然很多問題的都不可能有這么簡單，“速度差”隱藏起來了

　　甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車和一臺(tái)拖拉機(jī)都從甲開往乙地，汽車出發(fā)時(shí)，拖拉機(jī)已開出15千米；當(dāng)汽車到達(dá)乙地時(shí)，拖拉機(jī)距乙地還有10千米。那么汽車是在距乙地多少千米處追上拖拉機(jī)的？

　　A．60千米   B．50千米   C．40千米   D．30千米

　　【答案】C。解析：汽車和拖拉機(jī)的速度比為100：（100－15－10）=4：3，設(shè)追上時(shí)經(jīng)過了t小時(shí)，那么汽車速度為4x,拖拉機(jī)速度則為3x，則3xt+15=4xt，即（4x-3x）t=15得出xt=15，既汽車是經(jīng)過4xt=60千米追上拖拉機(jī)，這時(shí)汽車距乙地100-60=40千米。這里速度差就被隱藏了。

　　環(huán)形跑道周長是500米，甲、乙兩人按順時(shí)針沿環(huán)形跑道同時(shí)、同地起跑，甲每分鐘跑50米，乙每分鐘跑40米，甲、乙兩人每跑200米均要停下來休息1分鐘，那么甲首次追上乙需要多少分鐘？

　　A．60         B．36        C．72         D．103

　　【答案】C。解析：追上的時(shí)間肯定超過50分鐘，在經(jīng)過72分鐘后，甲休息了14次并又跑了2分鐘，那么甲跑了2900米，乙正好休息了12次 ，知道乙跑了2400米，所以在經(jīng)過72分鐘后甲首次追上乙。

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